问题重述

某大学ACM集训队,不久前向学校申请了一块空地,成为自己的果园。全体队员兴高采烈的策划方案,种植了大批果树,有梨树、桃树、香蕉……后来,发现有些坏蛋,他们暗地里偷摘果园的果子,被ACM集训队队员发现了。因此,大家商量解决办法,有人提出:修筑一圈篱笆,把果园围起来,但是由于我们的经费有限,必须尽量节省资金,所以,我们要找出一种最合理的方案。由于每道篱笆,无论长度多长,都是同等价钱。所以,大家希望设计出来的修筑一圈篱笆的方案所花费的资金最少。有人已经做了准备工序哦,统计了果园里果树的位置,每棵果树分别用二维坐标来表示,进行定位。现在,他们要求根据所有的果树的位置,找出一个n边形的最小篱笆,使得所有果树都包围在篱笆内部,或者在篱笆边沿上。
本题的实质:凸包问题。请使用蛮力法和分治法求解该问题。

问题分析

问题的本质为凸包问题,意图找出一个点集XX中处于最外围的子点集SS,使得SS构成的多边形边数最少。
形式化问题:现有点集X={(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)}X=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\},其子集SS,满足min{S1,S2,,Sm}, m=1,2,,2n\min \{S_1,S_2,\dots ,S_m\},\space m=1,2,\dots,2^n, 且能完全包围XX.
此处的“完全包围XX”很难用笼统地用形式化的方式去定义,但我们能在算法的构建过程中的具体分析其数学意义。

算法分析

设计思想

要了解凸包,必须了解凸性的定义。概括来说,平面邻域中任意两点所在的线段上的点都在该邻域中,则该邻域具有凸性。

Divide & Conquer方法

  1. 将所有点按照xx轴升序排列顺序,最左侧的点P1P_1和最右侧的点PnP_n为点集的边界,故一定为凸包上的点。直线 P1Pn\overline{P_1P_n} 把点集分成了两部分,即 xx 轴上面和下面两部分,分别叫做上包和下包。
    对上包:求距离直线 P1Pn\overline{P_1P_n} 最远的点 PcP_c ,即下图中的点DD
    Divide & Conquer方法找凸包
  2. 作直线 P1Pc\overline{P_1P_c}PnPc\overline{P_nP_c},把直线 P1Pc\overline{P_1P_c} 左侧的点当成是上包,把直线 PnPc\overline{P_nP_c}右侧的点也当成是上包。
  3. 重复上述步骤。
  4. 然后对下包也作如上操作,找出所有凸包的点集。

算法中,排序的复杂度O(nlogn)O(n \log n),分治的复杂度为O(nlogn)O(n \log n),故算法的复杂度O(nlogn)O(n \log n).

Bruce Force方法

两点确定一条直线,如果剩余的其他点都在这条直线的同一侧,则这两个点是凸包上的点,否则就不是。
步骤:

  1. 将点集里面的所有点两两配对,组成 n(n1)2\frac{n(n-1)}{2} 条直线。
  2. 对于每条直线,再检查剩余的 (n2)(n-2) 个点是否在直线的同一侧。

如何判断一个点 P3P_3 是在直线 P1P2\overline{P_1P_2} 的左边还是右边呢?(坐标:P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)P3(x3,y3)P_3(x_3,y_3)
利用叉积(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)(x_2-x_1) * (y_3-y_1)-(x_3-x_1) * (y_2-y_1)求得P1P2P3\bigtriangleup P_1P_2P_3的面积,当结果为正时,P3P_3在直线 P1P2\overline{P_1P_2} 的上侧;当结果为负时,P3P_3在直线 P1P2\overline{P_1P_2} 的下侧。

时间复杂度:O(n3)O(n^3)

Stepping方法

由凸包的定义,对于“所有其他点都在两点构成直线的同一侧”的情况,有这两个点一定是凸包上的两个相邻的或与凸包上另点共线的点的性质。由此观点出发,结合Bruce Force法和Divide & Conquer法种判断是否线上/下有点的方法,引出Stepping算法。
将所有点按照xx轴升序排列顺序,最左侧的点PaP_a和最右侧的点PbP_b为点集的边界,故一定为凸包上的点。
先找出上半部分的凸包:从小到大依次扫描各点PiP_i,利用叉积公式,判断是否能与PaP_a点形成的直线PaPi\overline{P_aP_i},满足“所有其他点都在两点构成直线的同一侧”的情况(即PaP_aPiP_i、点集中另外所有点PjP_j进行的叉积都小于00)。如果满足,则此点为凸包上的与PaP_a相邻的点(由于是从左到右从小到达有序地查找,故不存在另点共线的情况而在未被发现)。将此点定为PaP_a,继续重复上面的操作,直到右端点PbP_b为止。
FD上方无点,是凸包上的点
DA、DC上方有点
DB上方无点,是凸包上的点
BA、BD、BC上方有点
BE上方无点
下方搜索,EA下方无点
然后对线下半部分的点集进行同样操作。找出所有的凸包点集。
理论上,最不理想的情况下,复杂度为O(n2)O(n^2).
该方法还可继续优化,在上搜时,除了于左右边界连线上的点(如上图中的点AA,位于边界EF\overline{EF}的连线上)外,由于有相邻的条件,若某点已经判断不符合凸包点,则在下一次就不需要再判断了;但在下搜时需要再恢复成可判断状态,再进行上述操作。此办法可以降低平均情况下的算法时间。

设计表示

程序结构

凸包问题_程序结构

部分程序框图

Divide & Conquer方法框图

凸包问题_Divide & Conquer 方法程序框图

Bruce Force方法框图

Bruce Force方法程序框图

Stepping方法框图

Stepping方法程序框图

演示

ACM队的篱笆——求凸包 键入x坐标,以空格分离
键入y坐标,以空格分离
           
           
           
运行时间:ms

一些可供使用的样例

1
261 707 186 202 949 83 486 492 881 703 121 950 362 678 521 309 932 384 25 718 921 17 439 366 184 97 790 371 385 572 737 217 563 769 41 421 722 304 141 270 531 430 149 461 435 865 75 524 597 20 804 956 150 203 68 386 304 51 995 993 533 38 512 819 629 498 446 136 881 659 916 735 712 565 142 19 263 567 645 72 772 388 122 250 701 606 884 930 126 175 439 934 386 451 829 205 222 658 802 821 799 865 456 184 958 511 648 868 211 957 887 302 247 82 975 796 276 8 805 524 915 715 980 256 809 646 348 855 769 580 671 969 306 936 401 489 309 583 94 51 315 52 937 868 104 392 497 842 265 983 655 727 291 410 621 461 739 28 448 69 561 740 370 457 184 47 434 182 731 638 893 587 445 234 190 656 595 902 871 39 387 525 168 349 929 455 829 377 408 775 530 830 558 493 797 218 626 925 183 336 519 323 373 878 980 947 70 749 500 828 43 738 939 254 690 734 620 788 932 661 741 354 332 850 752 900 172 456 709 936 968 730 251 417 152 999 412 54 982 607 529 358 219 463 150 7 502 703 963 711 881 657 312 302 689 846 808 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976 79 420 659 399 247 818 455 742 234 887 116 402 218 762 469 992 454 457 969 901 460 253 861 338 264 163 96 370 21 689 428 244 89 905 103 716 10 937 69 821 770 37 913 129 726 985 627 726 859 250 35 359 484 915 547 595 483 995 9 339 514 427 247 215 508 244 268 991 660 18 739 62 820 227 813 743 136 645 3 342 945 719 647 24 270 968 634 485 351 750 442 304 504 400 572 909 716 465 976 770 201 230 130 390 393 921 599 408 522 613 428 242 723 707 322 815 437 61 272 617 412 237 564 107 83 489 954 319 853 843 557 55 420 830 888 781 367 556 391 553 991 888 208 424 30 472 559 587 322 731 818 197 159 457 999 856 905 280 525 976 74 260 223 290 788 299 231 813 337 493 682 630 880 648 322 305 759 70 529 79 955 498 253 770 339 234 998 734 205 499 223 76 642 849 276 770 798 617 207 58 340 513 231 526 207 436 309 702 824 40 838 813 194 606 749 63 505 837 434 168 921 959 105 208 299 966 2 314 928 48 859 178 632 704 898 650 817 58 457 590 347 714 186 274 206 842 623 363 445 984 199 891 604 190 184 865 812 744 986 778 342 110 569 858 459 721 44 479 155 886 0 607 345 968 744 984 354 310 950 100 67 464 17 355 467 635 763 1000 87 955 56 341 99 436 154 634 787 313 753 884 76 349 130 1000 110 900 80 291 482 107 37 893 5 249 338 13 440 186 157 461 578 454 963 40 286 22 652 758 376 614 677 506 847 379 215 376 44 553 946 831 651 675 886 850 383 88 465 313 166 442 793 227 247 423 224 84 683 101 207 264 399 341 447 359 439 188 137 413 866 718 894 767 123 77 370 950 33 326 726 218 137 784 85 681 654 962 943 701 123 453 986 495 46 687 192 223 891 212 382 962 495 347 662 619 945 924 16 314 988 582 645 207 120 96 30 630 713 376 954 925 861 690 739 546 183 377 430 687 298 552 216 430 390 470 646 921 96 691 884 930 304 42 209 42 308 324 739 351 955 863 935 333 378 583 566 678 111 640 798 239 997 192 198 430 252 417 712 80 879 392 411 766 703 667 996 942 509 972 533 235 325 495 291 321 197 2 513 456 136 645 962 572 413 379 367 451 632 928 34 463 530 365 227 490 888 594 783 911 108 905 777 279 964 32 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var n=0
var s = new Array()
var ans = new Array()

function cmp(a,b)
{
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}

function area(a,b,i)
{
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}

function search_bf()
{
var i,a,b,max_area,min_area;
for(a=0;a<n-1;a++)
{
for(b=a+1;b<n;b++)
{
max_area=0;
min_area=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(area(a,b,i)>max_area)
{
max_area=area(a,b,i);
}
if(area(a,b,i)<min_area)
{
min_area=area(a,b,i);
}
}
if(max_area == 0 || min_area == 0)
{
s[a].ch=true;
s[b].ch=true;
}
}
}
}

function search_se(a,b,direction)
{
//若向量叉乘为负,说明点在直线下面,否则在直线上面(参照直线方向为从左到右)
//a为左起点,b为右终点。
//★★★★凸包的相邻两个点之间上/下一定是没有点的
//从a到b的每个点i,看上一个凸包点与i的上/下方是否有其余的点
// 具体是能否构成三角形(即只要area(上一个凸包点,i,j)不为0 就构成)
// 不能构成就证明i是边界
//如果没有就证明是边界。加入ch.
var i, j, max_area=0, c = 0,last_ch=0;
var flag;
for(i=a+1;i<b;i++)
{
flag=true;
// 底边上方的只搜上 底边下方的只搜下
// 点在底边边上的则都要搜
if((!direction && area(a,b,i)>0) || (direction && area(a,b,i)<0) )
continue;
// 此处没有“最大距离”的前提,必须从0开始搜索
for(j=0;j<n;j++)
{
// 如果dir为真,说明在上方搜索,面积为正,
// 如果dir为假,说明在下方搜索,面积为负
if((direction && area(last_ch,i,j)>0) || (!direction && area(last_ch,i,j)<0))
{
flag = false;
break;
}
}
// 如果验证是上下没有点
if(flag)
{
s[i].ch=true;
last_ch = i;
}
}
}

function search_dc(a,b,direction)
{
var i, max_area, c=null
max_area = 0
// 找出距离直线最远的点
for(i=a+1;i<b;i++)
{
// 如果dir为真,说明在上方搜索,面积为正,
// 如果dir为假,说明在下方搜索,面积为负
// 如果刚好有点面积为零,且没有更大或更小,会使得c有值而max_area为0
// 这个点就刚好和边缘共线,因此也加入到ch中
if((direction && area(a,b,i)>=max_area) || (!direction && area(a,b,i)<=max_area))
{
max_area = area(a,b,i)
c = i
}
}
// 直线上/下方仍有点
if(c)
{
// 该点一定是凸包边缘
s[c].ch = true
// 继续沿着当前方向分治深搜
search_dc(a,c,direction)
search_dc(c,b,direction)
}
return 0
}

function timer(start)
{
if(start)
starttime = new Date().getTime()
endtime = new Date().getTime()
return endtime-starttime
}

function init(sort)
{
timer(true)
if(sort)
s.sort(cmp)
s[0].ch = true
s[n-1].ch = true
}

function input()
{
var x = document.getElementById('points_x').value
var y = document.getElementById('points_y').value
x = x.split(' ').map(Number)
y = y.split(' ').map(Number)
if(x.length != y.length)
{
alert('x 和 y 不对应,数目不同。')
return false
}
else
{
n=x.length
x.map((cur,index)=>{
s.push({
'x': x[index],
'y': y[index],
'ch': false,
})
})
return true
}
}

function output()
{
for(var i=0;i<n;i++)
{
//逆时针输出,先输出下半包
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)<=0)
ans.push({
x: s[i].x,
y: s[i].y
})
}
for(var i=n-1;i>=0;i--)
{
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)>0)
ans.push({
x: s[i].x,
y: s[i].y
})
}
document.getElementById("rt").innerHTML = timer(false)
// var ctx = document.getElementById("myChart").getContext('2d');
var scatterChart = new Chart(ctx,
{
type: "scatter",
data:
{
datasets:
[
{
label: "原数据",
borderColor: "rgb(30,144,255)",
data: s,
pointBackgroundColor: "rgb(30,144,255)",
pointRadius: 8,
pointHoverRadius: 20,
},
{
label: "凸包数据",
borderColor: "rgb(255, 99, 132)",
data: ans,
pointBackgroundColor: "rgb(255, 99, 132)",
pointRadius: 15,
pointHoverRadius: 20,
}
]
},
});
}

function clean()
{
s = new Array()
ans = new Array()
n=0
}

document.getElementById('submit_dc').onclick = function(event)
{
clean()
input()
init(true)
search_dc(0,n-1,true)
search_dc(0,n-1,false)
output()
}

document.getElementById('submit_se').onclick = function(event)
{

clean()
input()
init(true)
search_se(0,n-1,true)
search_se(0,n-1,false)
output()
}

document.getElementById('submit_bf').onclick = function(event)
{
timer(true)
clean()
input()
search_bf()
search_bf()
output()
}

C语言

D&C

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct Point
{
int x;
int y;
bool ch;
}s[105];
int n;

int cmp(Point &a,Point &b)
{
return a.x < b.x;
}

//求三角形面积
int area(int a,int b, int i)
{
return (s[b].x-s[a].x)*(s[i].y-s[a].y)-(s[b].y-s[a].y)*(s[i].x-s[a].x);
}


/*若向量叉乘为负,说明点在直线下面,否则在直线上面(参照直线方向为从左到右)*/
int search(int a,int b,bool direction)
{
int i, max_area, c = 0;
max_area = 0;
// 找出距离直线最远的点
// 第一轮搜索已经将最高地点找出,此后再的斜边斜率一定k>=0,
// 也就不可能再有比线更高的点,所以可以限制搜索范围
for(i=a+1;i<b;i++)
{
// 如果dir为真,说明在上方搜索,面积为正,
// 如果dir为假,说明在下方搜索,面积为负
// 如果刚好有点面积为零,且没有绝对面积更大的点,会使得c有值而max_area为0
// 这个点就刚好和边缘共线,因此也加入到ch中
//意味着只要有c就要加入
if((direction && area(a,b,i)>=max_area) || (!direction && area(a,b,i)<=max_area))
{
max_area = area(a,b,i);
c = i;
}
}
// 直线上/下方仍有点
if(c)
{
// 该点一定是凸包
s[c].ch = true;
// 继续沿着当前方向分治深搜
search(a,c,direction);
search(c,b,direction);
}
return 0;
}

int in()
{
scanf("%d", &n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d", &s[i].x, &s[i].y);
s[i].ch = false;
}
return 0;
}
int out()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
//逆时针输出,先输出下半包
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)<=0)
printf("%d,%d\n", s[i].x, s[i].y);
}
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)>0)
printf("%d,%d\n", s[i].x, s[i].y);
}
return 0;
}
int init()
{
sort(s,s+n,cmp);
s[0].ch = true;
s[n-1].ch = true;
return 0;
}
int main()
{
in();
init();
search(0, n-1, true); // 上搜
search(0, n-1, false); // 下搜
out();
return 0;
}

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#include<iostream>
using namespace std;

struct Point
{
int x;
int y;
bool ch;
}s[105];
int n;

//求三角形面积
int area(int a,int b, int i)
{
return (s[b].x-s[a].x)*(s[i].y-s[a].y)-(s[b].y-s[a].y)*(s[i].x-s[a].x);
}

int search()
{
int i,a,b,max_area,min_area;
for(a=0;a<n-1;a++)
{
for(b=a+1;b<n;b++)
{
max_area=0;
min_area=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(area(a,b,i)>max_area)
{
max_area=area(a,b,i);
}
if(area(a,b,i)<min_area)
{
min_area=area(a,b,i);
}
}
if(max_area == 0 || min_area == 0)
{
s[a].ch=true;
s[b].ch=true;
}
}
}
return 0;
}

int in()
{
scanf("%d", &n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d", &s[i].x, &s[i].y);
s[i].ch = false;
}
return 0;
}
int out()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(s[i].ch)
printf("%d,%d\n", s[i].x, s[i].y);
}
}
int main()
{
in();
search();
out();
return 0;
}

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct Point
{
int x;
int y;
bool ch;
}s[105];
int n;

int cmp(Point &a,Point &b)
{
return a.x < b.x;
}

//求三角形面积
int area(int a,int b, int i)
{
return (s[b].x-s[a].x)*(s[i].y-s[a].y)-(s[b].y-s[a].y)*(s[i].x-s[a].x);
}


//若向量叉乘为负,说明点在直线下面,否则在直线上面(参照直线方向为从左到右)
//a为左起点,b为右终点。
//★★★★凸包的相邻两个点之间上/下一定是没有点的
//从a到b的每个点i,看上一个凸包点与i的上/下方是否有其余的点
// 具体是能否构成三角形(即只要area(上一个凸包点,i,j)不为0 就构成)
// 不能构成就证明i是边界
//如果没有就证明是边界。加入ch.
int search(int a,int b,bool direction)
{
int i, j, max_area=0, c = 0,last_ch=0;
bool flag;
for(i=a+1;i<b;i++)
{
flag=true;
// 横线上的只搜上 横线下的只搜下
// 点在线上的都要搜
if((!direction && area(a,b,i)>0) || (direction && area(a,b,i)<0) )
continue;
// 此处没有“最大距离”的前提,必须从0开始搜索
for(j=0;j<n;j++)
{
// 如果dir为真,说明在上方搜索,面积为正,
// 如果dir为假,说明在下方搜索,面积为负
if((direction && area(last_ch,i,j)>0) || (!direction && area(last_ch,i,j)<0))
{
flag = false;
break;
}
}
// 如果验证是上下没有点
if(flag)
{
s[i].ch=true;
last_ch = i;
}
}
return 0;
}

int in()
{
scanf("%d", &n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d", &s[i].x, &s[i].y);
s[i].ch = false;
}
return 0;
}
int out()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
//逆时针输出,先输出下半包
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)<=0)
printf("%d,%d\n", s[i].x, s[i].y);
}
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
if(s[i].ch && area(0,n-1,i)>0)
printf("%d,%d\n", s[i].x, s[i].y);
}
return 0;
}
int init()
{
sort(s,s+n,cmp);
s[0].ch = true;
s[n-1].ch = true;
return 0;
}
int main()
{
in();
init();
search(0, n-1, true); // 上搜
search(0, n-1, false); // 下搜
out();
return 0;
}

心得体会

凸包问题本身并不困难,关键在于能不能够做到思想迁移,也就是举一反三的能力。
在了解了分治算法后,我一直在想如何将其迁移到凸包上。我原以为将点集一分为二,再一分为二……问题在于“分”了后该如何“治”?想了很久也没有所以然,只好在网络上搜索教学PPT。原来是利用凸包的性质,找出边集,继续深度分治就可以了,这我才了解,D&C算法还要结合问题本身的性质来一起思考。
在写完凸包的D&C算法后,我又开始思考如何使用其他方法来解决问题。我原本考虑的是将SS所有的点集共2n2^n个找出,再一个个验证,但这样其实复杂度太大。我便从分治学到的“结合凸包的性质”入手,发现凸包上相邻两个点一定只有一边有点,而且边集的上方的只有下方有点,边集的下方的只有上方有点。从这里说开去,推出了“Stepping方法”。

知识交汇点:此方法实质为Jarvis方法。本质上是通过对“凸包性质”的判断而产生的。

我先使用最熟悉的C语言和C++编写程序,然后迁移再到JavaScript上,并利用图形可视化了算法的结果,不仅锻炼了我编写JavaScript的能力,还学会了Chart.js图形库。
总之,这次课程设计丰富了我的计算几何、JavaScript,特别是算法设计知识。在设计过程中,感谢在我弄错课题时邬思奇老师的理解宽容,感谢各位老师的帮助支援。大家的助力是我完成本次课程设计所不可或缺的力量。