实验四 贪心算法

问题描述

一.实验目的

掌握贪心算法的设计与分析步骤以及算法的具体实现。

二.实验要求

实验时间:2学时,对于给定的问题描述,生成实验报告。

三.实验内容

问题描述:设有nn种零钱, 重量分别为w1,w2,,wnw_{1},w_{2},\dots,w_{n},价值分别为1,v2,,vn1, v_{2},\dots,v_{n}, 其中v1<v2<<vnv_{1} < v_{2} < \dots < v_{n} 需要付的总钱数是YY。假设币值和钱数都为正整数。问:如何付钱使所付钱的总重最轻?

  1. 使用动态规划算法解决问题,给出分析过程。
  2. 使用贪心算法解决问题,给出分析过程。
  3. 给出算法的具体实现过程(源码及其详细注释)。
  4. 给出算法的运行结果。针对不同的输入,分析贪心法和动态规划法得到的解是否相同,如果不同,给出理由。

形式化问题

现有集合 W={w1,w2,,wn},V={v1,v2,,vn}W=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{n}\}, V=\{v_{1}, v_{2},\dots,v_{n}\} ,且满足 v1<v2<<vnv_{1} < v_{2} < \dots < v_{n} .对于给定的 YY ,找出合适的 X={x1,x2,,xn} ,xinX=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\space,x_{i}\in n ,满足 Y=i=1nvixiY=\sum_{i=1}^{n}v_{i}x_{i} ,求满足条件的 XX 中,同时满足 min{i=1nwixi}min\{\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\} 的集合结果.

动态规划算法

这属于整数规划问题,动态规划算法可以得到最优解。

解决DP问题,最重要的是要找出子问题。所以从这里开始。

此问题基于初始的硬币问题,下面给出题面

假设有 1 元,3 元,5 元的硬币若干(无限),现在需要凑出 11 元,问如何组合才能使硬币的数量最少?

初始的硬币问题相当于此问题中的特例,要解决题目中的问题,不妨先从这个特例开始:

特例

现在给定一个W={1,1,1}W=\{1,1,1\}V={1,5,10}V=\{1,5,10\}Y=15Y=15 ,求 XXmin{i=1nwixi}min\{\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\} (注意,这里求的是最小个数sum,而不是支付方式XX).

在这里我们将硬币看做等重量,即1,此处映射为对应面额硬币的个数。

我们给定一个二维数组F[k][y],表示当前考虑 1,2,,k1,2,\dots,k 的情况下,对于当前金额 yy 所需的最小重量(硬币数)。

我们从头开始,很显然,对于F[1][],即只考虑 1 元硬币的情况,对于给定的当前 v 的最小值。

v=0v=0 置为0.接下来考虑要付 1 元钱的情况,这时只可能有 在原先0元的基础上付 1 元硬币。即 F[1][1]=F[1][0]+w1x1F[1][1]=F[1][0]+w_{1}x_{1}.

金额 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[1][] 0 1 2

以此类推,直到 y=Yy=Y.

金额 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[1][] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

接下来我们考虑 k=2k=2 ,即有1元和5元硬币的情况。在 y<5y < 5 的情况下,不能用5元硬币,所以此时直接等于其上面的值。

直到 n=5n=5 可以看到此时可以拿一个5元的硬币了。我们直接从 F[2][0],F[1][5] 中查找最小值,然后加上5元的重量1.

提示

有人还会考虑了F[1][0]的情况,但事实上, 由于最优子结构的性质,在考虑F[2][0]时已经考虑过F[1][0],所以不用再考虑,以此类推,在考虑n=6时,F[0][1]不用考虑,等等等等

继续分析

金额 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[1][] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[2][] 0 1 2 3 4 1

同样,对于10元,15元也是同样的处理方法。

金额 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[1][] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[2][] 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3

以此类推,填完表格

金额 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[1][] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F[2][] 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3
F[3][] 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2

状态转移方程

Fk(y)F_{k}(y) 表示用前 kk 种零钱,总钱数为 yy 的最小重量。

{Fk+1(y)=min{Fk(y)Fk+1(yvk+1)+wk+1}F1(0)=0\left\{ \begin{matrix}F_{k+1}(y)=\min \begin{Bmatrix}F_{k}(y) \\F_{k+1}(y-v_{k+1})+w_{k+1} \end{Bmatrix} \\F_{1}(0)=0 \end{matrix}\right.

k=1,2,,n1,y=0,1,,Yk=1,2,\dots,n-1,y=0,1,\dots,Y

PPT上给出了另一种状态转移方程,但我倾向于用上方的二选一的方式表达。

下面是PPT给出的状态转移方程。

{fk+1(y)=min0xk+1yvk+1{Fk(yvk+1xk+1)+wk+1xk+1}f1(y)=w1yv1=w1y\left\{\begin{matrix}f_{k+1}(y)=\min_{0 \le x_{k+1} \le \left \lfloor \frac{y}{v_{k+1}} \right \rfloor }\{F_{k}(y-v_{k+1}x_{k+1})+w_{k+1}x_{k+1}\} \\f_{1}(y)=w_{1}\left \lfloor \frac{y}{v_{1}} \right \rfloor =w_{1}y \end{matrix}\right.

k=1,2,,n1,y=0,1,,Yk=1,2,\dots,n-1,y=0,1,\dots,Y

复杂度

此算法常数级填写了一张二维表格。时间复杂度为

O(nY)O(nY)

nn 为钱的种数,YY 为需要给付的钱数。

若需要具体的XX集合,只需同样[n][Y]大小的数组(或者一个[2][Y]的数组进行滚动),用来存取其选择的单元格,然后通过 O(n+Y)O(n+Y) 回溯计可获得 XX 的集合。


贪心算法

用贪心算法解决此问题,只需要保证每次选择都是当前最好的选择。

针对当前问题,为了能够得到最小的总重量

我们就会优先选择单位重量下价值较高的硬币。直到不能再用,再选单位价值次之的。由于题干说明一定有价值为1的硬币,所以一定能保证付到Y价值。

复杂度

此算法需要将硬币按“单位价值比”排序,最快需要 O(nlogn)O(n \log n) 时间,此后选择只需要 O(n)O(n) 时间。总的时间复杂度是

O(nlogn)O(n \log n)


代码实现

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define MAXN 1000
#define MAXY 1000
struct coin{
int wei,val;
double vpw;
};//为排序创建结构体
coin c[MAXN+5];
int n,Y;//硬币种数,总钱数
int v[MAXN],w[MAXN],vpw[MAXN];
int F[MAXN][MAXY];
int back[MAXN];
int back2[MAXN];
//void solve(int ){
// int ans=0;
//
// for(int i=5; i>=0; i--){
// int t=min(A/V[i],C[i]); //使用硬币i的枚数
// A-=t*V[i];
// ans+=t;
// }
//
// printf("%d\n",ans);
//}


//回溯
int backtrace(int x,int y)
{
if(F[x][y]==0)
return 0;
if(F[x][y]==F[x-1][y])
{
backtrace(x-1,y);
return 0;
}
if(y>=v[x]){
if(F[x][y]==F[x-1][y-v[x]]+w[x])
{
back[x]++;
backtrace(x-1,y-v[x]);
return 0;
}
if(F[x][y]==F[x][y-v[x]]+w[x])
{
back[x]++;
backtrace(x,y-v[x]);
return 0;
}
}
}



int dp()
{

F[1][0]=0;
for(int j=1;j<=Y;j++)//初始化1元面值的一行
{
F[1][j]=F[1][j-1]+w[1];
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=Y;j++)
{
F[i][j]=F[i-1][j];//先与上一行同价值
if(j>=v[i])
{
F[i][j]=min(F[i][j],(F[i][j-v[i]]+w[i]));//请看状态转移方程
}
}
}
// 输出表格
// for(int i=1;i<=n;i++)
// {
// for(int j=0;j<=Y;j++)
// printf("%d\t",F[i][j]);
// printf("\n");
// }
printf("最小重量为 %d \n",F[n][Y]);
backtrace(n,Y);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("硬币面额 %d\t元的,拿 %d 个\n",v[i],back[i]);
}



bool rule(coin x,coin y){
return x.vpw<y.vpw;
}
//贪心算法实现
void greedy(){

for(int i=1;i<=n;i++)
{
c[i].val=v[i];
c[i].wei=w[i];
c[i].vpw=vpw[i];
}
sort(c+1,c+n+1,rule);
int ans=0,restVal=Y;
memset(back2,0,sizeof(back2));
//优先选择价值高的硬币并记录选择
for(int i=n;i>=1;i--){
back2[i]=restVal/c[i].val;
ans+=back2[i]*c[i].wei;
restVal-=back2[i]*c[i].val;
}
//结果输出
if(restVal==0){
printf("总重量:%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("硬币面额 %d\t元的,拿 %d 个\n",c[i].val,back2[i]);
}else
printf("贪心算法无法对此题求解\n");
}

int initialization()
{
printf("硬币种数 n\n");
scanf("%d",&n);

printf("总价值 Y\n");
scanf("%d",&Y);

v[1]=1;
printf("面值为 1 的硬币重量\n");
scanf("%d",&w[1]);
for(int i=2;i<=n;i++){
printf("第 %d 个硬币的价值与重量\n",i);
scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
vpw[i]=1.0*v[i]/w[i];
}
}

int main()
{
initialization();//初始化:读入数据,处理单位价值
printf("--------D P 算法---------\n");
dp();
printf("--------贪心算法---------\n");
greedy();
return 0;
}

结果

硬币问题_结果相同的情况

硬币问题_结果不一的情况
结果不一,为什么?

贪心局限 (看看就好)

我们不妨设这样一串硬币属性:

v1w1v2w2vnwn\frac{v_1}{w_1}\le\frac{v_2}{w_2}\le\dots\le\frac{v_n}{w_n}

使用前 kk 种零钱,总钱数为 yy

贪心法的总重为 Gk(y)G_{k}(y),则有如下递推方程

Gk+1(y)=wk+1yvk+1+Gk(ymodvk+1)k1G1(y)=w1yv1=w1y\begin{array}{l} G_{k+1}(y)=w_{k+1}\left\lfloor\frac{y}{v_{k+1}}\right\rfloor+G_{k}\left(y \bmod v_{k+1}\right) \quad k1 \\ G_{1}(y)=w_{1}\left\lfloor\frac{y}{v_{1}}\right\rfloor=w_{1} y \end{array}

n=1, 2

n=1n = 1 只有一种零钱,F1(y)=G1(y),F2(y)=G2(y)F_{1}(y) = G_{1}(y) , F_{2}(y) = G_{2}(y)

n=2n = 2, 使用价值大的钱越多(x2x_{2}越大),得到的解越好

F2(y)=min0x2y/v2{F1(yv2x2)+w2x2}F_{2}(y)=\min _{0 \leq x_{2} \leq\left\lfloor y / v_{2}\right\rfloor}\left\{F_{1}\left(y-v_{2} x_{2}\right)+w_{2} x_{2}\right\}

[F1(yv2x2)+w2x2][F1(yv2(x2+δ))+w2(x2+δ)]=[w1(yv2x2)+w2x2][w1(yv2x2v2δ)+w2x2+w2δ]=w1v2δw2δ=δ(w1v2w2)0\begin{array}{l} {\left[F_{1}\left(y-v_{2} x_{2}\right)+w_{2} x_{2}\right]} -\left[F_{1}\left(y-v_{2}\left(x_{2}+\delta\right)\right)+w_{2}\left(x_{2}+\delta\right)\right] \\ =\left[w_{1}\left(y-v_{2} x_{2}\right)+w_{2} x_{2}\right]-\left[w_{1}\left(y-v_{2} x_{2}-v_{2} \delta\right)+w_{2} x_{2}+w_{2} \delta\right] \\ =w_{1} v_{2} \delta-w_{2} \delta=\delta\left(w_{1} v_{2}-w_{2}\right) \geq 0 \end{array}

说明w1w2vw_{1} ≥ \frac{w_{2}}{v},即多使用 δ\delta 枚第二种硬币的重量更小。

心得体会

贪心算法为什么叫做贪心,是因为其每次都从整个局面出发选看上去对现在最好的选择。但事实告诉我们,这样的选择反而有可能会对局面不利。
DP从子问题出发选对当前子问题最好的选择,符合最优子结构的条件,最终能求出最好的解决。
贪心,真不是好的解决方案呢。
不如着眼现在,做好现在的事情;而不是好高骛远,贪图捷径。
嗯……算法,值得思考,值得发散……